Es sei μ ein endlicher, voUstandig primarer Ring, dessen Radikal der Bedingung:

R²=0

genügt (1). In der vorliegenden Arbeit soli die Struktur solcher Ringe vollstandig bestimmt werden.

1. Der Restklassenring

K=U/R

ist ein endlicher Korper, also ein Galoisfeld GF(q) wo q eine Potenz einer Primzahlpist:

Wegen R²=0 folgt aus a = b (mod R), dass

ar = br, ra = rb für jedes r aus R

ist. Das Produkt ar bzw. ra hangt also nur von der Restklasse von a ε K von mod R ab. Wir definieren das Produkt von a ε K und r ε R...

Es seiXein (absoluter) Komplex,Xein Teilkomplex vonX, undJein beliebig vorgegebener Koeffizientenbereich.

Definition 1.$\mathop X\limits^ * $heisst eine r-dimensionale allgemeine Zelle mit der Seite$\mathop X\limits^ * $in bezug aufJ, wenn die Bettischen Gruppen$B_J^s(X,\mathop X\limits^ * )$vonXmod$\mathop X\limits^ * $für alle s ≠ r gleich Null sind:

$B_J^s(X,\mathop X\limits^ * )$= 0 für s ≠ r.

Dieser allgemeine Zellenbegriff ist eine unmittelbare Verallgemeinerung des Begriffes der gewohnlichen kombinatorischen Zellen.¹⁾In der vorliegenden Arbeit soIl, diesem allgemeinenen Zellenbegriff entsprechend, ein allgemeiner Begriff der Zellenzerspaltungen und der algebraischen Zellenkomplexen eingefiihrt und dessen Brauchbarkeit gezeigt werden.²⁾

1. Allgemeine algebraische Zellenkomplexe.

Es sei...

Man definiert die Dimensionszahl von einem KompaktumFbekanntlich auf zweierlei Weise: Nach Lebesgue-Brouwer wird sie namlich als die kleinste nicht-negative ganze Zahlndefiniert, sodass F beliebig feine Überdeckung mit der Ordnung n+ 1 besitzt. Die Dimension vonFin diesem Sinne wollen wir mit dim F bezeichnen. Andererseits heisstFnach Urysohn-Menger höchstensn-dimensional, wenn jeder PunktpvonFin einer beliebig kleinen Umgebung U(p) enthalten ist, deren Rand U(p)-U(p) höchstens (n-l)-dimensional ist; die Dimension vonFwird hier somit rekursiv definiert. indem als Dimension der leeren Menge die Zahl –1 zugesehrieben wird. Die beiden Definitionen sind...

The purpose of this note is to point out that some fundamental theorems in the theory of operators in Hilbert space, viz.

I. the possibility of the canonical decomposition of closed linear operators with an everywhere dense domain;¹)

II. the possibility of the integral representation of normal and especially self adjoint operators²)

are easily deducible from a certain lemma contained in the proofs of the lemmas 9. 1. 2, 9. 1. 3, 9. 1. 4 in R.¹)

We state this lemma in §1, and then prove these fundamental theorems in the following two paragraphs. The sole knowledge presupposed to our...

The theory of almost periodic functions (a. p. f.) in a group, due originally to J. von Neumann,¹) has been simplified by W. Maak.²) The last author starts from a modified definition of a. p. f., and obtains a shorter proof of the existence of the mean value. His proof necessitates, however, a certain combinatorial lemma, . which is indeed very interesting in itself, but somewhat alien to the theory of a. p. f. We propose here another way of founding this theory, which seems to us also simple and natural.

1. We begin with some general remarks on metric...

Im Folgenden soll ein einfacher Beweis fur den bekannten Satz¹) gegeben werden, dass jede stetige einparametrige Untergruppe einer Lieschen Gruppe differenzierbar (in bezug auf den Parameter) ist.

Es sei @ eine n-parametrige Liesche Gruppe. Die Elemente von @ bezeichnen wir mit x, y, ... ; ihre Koordinaten mit xⁱ, yⁱ, ... (j = 1, 2, ..., n). Dem Einselement e von @ solI wie ublich der Koordinatenanfang (0, ... ,0) entsprechen.

${f^i}\left( {{x^1},...,{x^n};{y^1},...,{y^n}} \right) = {f^i}\left( {x,y} \right) = {\left( {xy} \right)^i}$sei die Funktion, die die j-te Koordinate des Produktes xy angibt. fⁱist also stetig differenzierbar in bezug auf$\left( {x,y} \right) = \left( {{x^1},.,{x^n};{y^1},.,{y^n}} \right).$

Wir setzen nun

$g_k^j\left( {x,y} \right) = \frac{1}{{{x^k}}}\{ {f^i}(0,...,0,{x^k},{x^{k + 1}},...,{x^{n;y}}) - {f^i}(0,...,0,{x^{k + 1}},...,{x^{n;y}})\} ,$

sodass di Identität: besteht....

Jede zusammenhängende (nicht notwendig lokal-zusammenhängende) kompakte separable abelsche Gruppe¹) läßt sich, wie es w. u. (Nr. 4) gezeigt werden soll, als Limesgruppe einer G_n-adischen Folge von (endlich-dimensionalen) Torusgruppen auffassen. Diese letzten Gruppen haben folgende Eigenschaften, die wegen ihrer einfachen (topologischen bzw. algebraischen) Struktur leicht nachzuweisen sind (Nr. 1-3):

Es seienI,Ĩzwei endlich-dimensionale Torusgruppen und π die additive Gruppe der mod. 1 reduzierten reellen Zahlen ; dann gelten:

a)Iist mit${B^1}_\pi {\left( I \right)^2}$) topologisch isomorph.

b) Für jede stetige AbbildungfvonIinIgibt es einen und nur einen stetigen Homomorphismus${h_4}$vonIinĨ, der...

Es seiRein metrischer Raum undNein in einem Euklidischen Raum realisierter¹) Nerv einer offenen ÜberdeckunguvonR.Dann bildet bekanntlich die Kuratowskische Abbildung²) den RaumRin das Polyeder N stetig ab. Eine wichtige Eigenschaft dieser Abbildung ist dabei die, daß der Bildpunkt eines PunktespinRim Simplex$\left( {{a_{{i_0}}}{a_{{i_1}}}...{a_{{i_r}}}} \right)$enthalten ist, wennpden${a_{{i_v}}}\left( {v = 0,1,...,r} \right)$entsprechenden Elementen von u und nur diesen angehört. Wir wollen nun den Begriff der Kuratowskischen Abbildung allgemeiner fassen und jede stetige Abbildung eines topologischen Raumes R in das PolyederN, woNein Nerv einer beliebigen (nicht notwendig offenen...

1. Es seien Ω ein Raum (mit Punkten P, Q, ... ) und G eine Gruppe der ein-eindeutigen Abbildungen x: P → p. x von Ω auf sich selbst. In vorliegender Note betrachten wir G-invariante Masse¹⁾μ*in Ω. Dabei kann μ.(Ω)²⁾auch unendlich sein, jedoch verlangen wir immer, dass Ω die Summe hOchstens abziihlbar vieler Mengen mit endlichen Massen ist. In G sei ein links-invariantes Mass m* mit der folgenden Eigenschaft erkliirt:1st eine(komplex-wertige)Funktion f(x) in Ω messbar, so ist f(y-1X) auch. lch. Dabei soll G auch die Summe höchstens abzahlbar vieler Mengen mit endlichen Massen sein....

In 1936 hat Herr André Weil in einer C.R.-Note⁽¹⁾angezeigt, dass zwischen gewissen Massen und Topologien in einer Gruppe eine enge Beziehung bosteht.

Eine GruppeGmit Elementen x,y, ... , nennt man bekanntlich eine topologische Gruppe, wenn sie zugleich ein topologischer Raum ist, und${y^{ - 1}}x$eine stetige Funktion von x, y ist. Die hier in Frage kommende Topologie vonGist also nicht eine beliebige: sie muss mit der Gruppenoperation vonGin einer gewissen Relation stehen. Als Topologie in einer Gruppe wollen wir im folgenden nur solche Topologie in Betracht ziehen.

Dementsprechend ist es naturgemäss, dem Mass in...

§ 1. LetGbe a locally compact (not necessarily separable) abelian group, and let L²(G) be the generalized Hilbert space of all complex valued functions x(g) which are defined, measurable and square integrable onGwith respect to a Haar measure ofG(with a certain fixed normalization) having

(1)$\left\| x \right\| = {(\int\limits_G {{{\left| {x(g)} \right|}^2}dg} )^{\frac{1}{2}}}$

as its norm. Let further (BG) be the ring of all bounded linear transformationsBwhich mapL²(G)into itself. ThenB(G)is a (non-commutative) normed ring¹) with respect to the norm

(2)$|||B||| = {\sup _{\left\| x \right\| \leqslant }}\left\| {B(x)} \right\|$

For each$a \in G$, let us denote by U_aa unitary transformation of

V(G) onto itself...

Die Beziehung zwischen Topologie und Tensorfeld auf Mannigfaltigkeiten ist schon von mehreren Autoren untersucht worden¹. Im folgenden geben wir davon eine kurze Zusammenfassung, wobei aber bemerkt werden soll, dass man eine formal übersichtlichere Theorie bekommt, wenn man dem Tensorbegriff den dazu dualen Begriff der Tensordichte gegenüberstellt. Der ,,obere Randoperator r*“ operiert auf Tensorfelder; der ,,untere Randoperator r“ auf Tensordichte. Erst in Riemannschen Mannigfaltigkeiten, wo wegen der mittels Metrik bestimmten Zuordnung der Unterschied zwischen den beiden Begriffen sozusagen verschwindet, lassen sich die Operatoren r* und r beide auf Tensorfelder operieren. Harmonisch heisst dasjenige Tensorfelde,wofür re= r*e=0 gilt²). In diesem...

§ 1.Vorbereitung¹). In vorliegender Note betrachten wir lineare elliptische Differentialausdrücke L(u) für die Funktion u(x¹,x²,...,x³), welche als Eulersche Variationsausdrücke aus einem quadratischen Integral :

$E(u) = \int {(\sum {{a_{jk}}} } \frac{{\partial u}}{{\partial {x^j}}}\frac{{\partial u}}{{\partial {x^k}}} + 2u\sum {{b_j}} \frac{{\partial u}}{{\partial {x^j}}} + c{u^2})d{x^1}d{x^2}d{x^n}$

entstehen, und behandeln die Rand-und Eigenwertprobleme der Differentialausdrücke . L(u) für ein beschränktes offenes Gebiet$\mathfrak{M}$des${x^1}d{x^2}...d{x^n}$-Raumes nach der Weylschen “Methode der orthogonalen Projektion”²) Dabei sind${a_{jk}},{b_j},c$als genügend reguläre, beschränkte Funktionen in$\mathfrak{M}$vorausgesetzt³), und es soll eine positive Konstantekgeben, sodass in jeder Stelle von$\mathfrak{M}$Für beliebige Parameter$u,{u_1},{u_2},...{u_n}$die Ungleichung:

$\sum {{a_{jk}}} u,{u_k} + 2u{\sum {b,u, + cu} ^2}\underline{\underline \angle } k\sum {u\frac{2} {j}} $

gilt. Es ist zweckmassing, als eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit der Metrik:$d{s^2} = {g_{jk}}d{x^j}d{x^k}$aufzufassen, welche mit${a_{jk}}$mittels...

Zur Definition des Haarschen Massesmin einer lokal bikompakten, nicht separablen Gruppe gibt es zwei Möglichkeiten. Nach der ersten gewöhnlichen Definition wirdmzunächst für alle Borelschen Mengen erklärt und dann zum vollständigen Mass vervollständigt; nach der zweiten wird dagegenmzunächst nur für die Mengen mit Baireschen charakteristischen Funktionen — wir wollen solche Menge Bairesch nennen¹) —definiert und dann vervollständigt. Sind nun diese zwei Definitionen äquivalent?²) In der vorliegenden Now soll diese Frage bejahend beantwortet werden³). Dabei benutzen wir die,,Quasi-separ abilität” der lokal bikompakten Gruppe, d.h. dass jede solche Gruppe als eine separable betrachtet werden kann, solange man...

Let$\mathfrak{M}$be an n-dim. analytic Riemannian manifold with the positive definite metric$d{s^2} = d{x^j}d{x^k}$, where${x^1},{x^2},..{x^n}$mean local coordinates of points x in$\mathfrak{M};$we assume that$\mathfrak{M}$is closed and orientable. We

shall consider skew symmetric tensor fields${\varphi ^\mathfrak{p}} = {\varphi _{jk}}...\iota (\chi )$defined in$\mathfrak{M}$, which will be called simply “fields” in$\mathfrak{M}$. The divergence, rotation, and the dual field of. a field${\varphi ^\mathfrak{p}}$will be denoted by$\chi {\varphi ^p},\chi *,{\varphi ^p},{\varphi ^p} * $resp.; as is well known, they are defined by

${(\chi {\varphi ^p})^\kappa }^{...\iota } = - \frac{1}{{\sqrt g }}\partial \iota ({\sqrt {g\varphi } ^{jk...\iota }}),$

where${\partial _j} = \partial \left| {{\partial _{xj}}} \right.,$g=det(g_jk),${\varphi ^{jk...l}} = {g^{jp}}{g^{kq...}}{g^{lr}}{\varphi _{pq...r.}}$

The operationsx,x^*, * satisfy obviously is

xx=x^*x^*= 0,

(1.1)${\varphi ^{\rho **}} = {( - 1)^{p(n - p)}}{\varphi ^p},$

(1.2)$x({\varphi ^{p*}}) = {( - 1)^{n - p}}{({x^*}{\varphi ^p})^*}.$

Ap-chain...

The present short note is a preliminary report on an attempt to generalize the classical existence theorem of analytic functions on closed Riemann surfaces¹) to the case of the theory of functions of two complex variables. Let$\mathfrak{M}$be a closed analytic surface, i.e. a 2-dimensional (topologically 4-dimensional) analytic manifold; the local (analytic) coordinates on$\mathfrak{M}$will be denoted by z¹,z². The poles and zero-points of a one valued meromorphic functionf(z¹,z²) defined on$\mathfrak{M}$constitute a I-dimensional analytic submanifold of$\mathfrak{M}$consisting of a finite number of irreducible closed analytic curves${\Gamma _{1,}}{\Gamma _2},...,{\Gamma _k}...,$each of which is a polar or...

In our previous paper “Uber die Harmonischen Tensorfelder in Riemannschen Mannigfaltigkeiten”¹ we have given the outline of the theory of harmonic fields (i. e. harmonic integrals) in Riemannian manifolds, and shown in particular (without detailed proof) that the existence of harmonic fields of the first kind can be established with the method of orthogonal projections due to H. Weyl.² We have considered also harmonic fields with singularities, but the existence theorems for the fields of the second and the third kinds have not yet been obtained. We shall give in this paper the proof of these existence theorems together with...

Recently E. C. Titchmarsh has treated the theory of expansion of arbitrary functions in terms of the eigenfunctions of a differential operator of the second order by a new method and obtained results of importance for applications.¹ The method of Titchmarsh is based solely on the calculus of residues. In the present paper we shall first give another proof of Titchmarsh’s results based on the general theory of linear operators in Hilbert space and, secondly, applying them to differential equations of Schrödinger type, show that a theorem of Heisenberg² concerning the S-matrix can be founded on these results.

1. Spectral...

The general theory of expanding an arbitrary function in terms of the eigenfunctions of a singular differential operator of the second order was first given by H. Weyl,¹ An alternative method, based on the general theory of linear transformations in the Hilbert space, is to be found in a treatise by M. H. Stone.² Recently E. C. Titchmarsh has treated the same theory by still another method and obtained some new results of importance for applications.³ The purpose of the present paper is to generalize the Weyl-Stone-Titchmarsh theory of eigenfunction expansions to the case of formally self adjoint ordinary differential...

The purpose of this paper is to show that there exists a countably additive measurem(M) defined on a Borel field we = {M} of subsetsMof the additive groupKof all real numbers mod 1 which is: (i) anextensionof the Lebesgue measure (i.e., every Lebesgue measurable setMis contained in$\mathfrak{M}$andm(M) coincides with the ordinary Lebesgue measure, (ii)invariantunder translation (i.e.,${\rm M} \in \mathfrak{M}$implies${\rm M} + a = \left\{ { + \left. a \right\}} \right.\chi \in \left. {\rm M} \right\} \in \left. {\rm M} \right\}$andm(M + a) =mM for all$a \in $K), and (iii)nonseparablein the sense that the${L^2}$-space${L^2}(K,\mathfrak{M},m)$constructed onKwith respect to$\mathfrak{M}$and...

A complex analytic manifold${{\rm M}^{2n}}$of complex dimensionnis, by definition, a topological 2n-dimensional manifold with a complex analytic structure. The concept of a complex analytic structure can be defined, in the same way as in the definition of a C$\infty $structure (see § 1), by means of the concept ofregular analyticfunctions in a neighborhood of a point and of the following two axioms:

Axiom 1.f(q) being an arbitrary function defined in a neighborhood U of a point in${{\rm M}^{2n}}$, f(q) is either regular analytic in U or it is not.

Axiom 2.For every point...

The main purpose of the present paper is to prove the theorem of Riemann-Roch on compact complex analytic manifolds of complex dimension 2 with Kählerian metrics¹ by means of the theory of harmonic integrals. Suppose such a manifold$\mathfrak{M}$as given and denote for an arbitrary divisorDon$\mathfrak{M}$the space consisting of all meromorphic functionsFon$\mathfrak{M}$which are multiples of —Dby Á(D). The problem concerning the theorem of RiemannRoch consists in expressing the dimension of the linear space Á (D) in terms of the “characters” ofDsuch as the topological intersection-number ofDwith...

Let$\mathfrak{M}$be a compact complex analytic variety of the complex dimensionnwith a positive definite Kählerian metric [4] ; the local analytic coordinates on$\mathfrak{M}$will be denoted by$z = ({2^1},{2^2},....{z^n})$. Now, suppose a meromorphic function$f(z)$defined on$\mathfrak{M}$as given. Then the poles and zero-points of$f(z)$constitute an analytic surface¹ in$\mathfrak{M}$consisting of a finite number of irreducible closed analytic surfaces${\Gamma _1}{\Gamma _2},...,{\Gamma _{k3}},$each of which is a polar or a zero-point variety of$f(z)$The formal sum$D = \sum {{m_k}} {\Gamma _k}$of these varieties multiplied respectively by the multiplicity${m_k}$of${r_k}$is called the divisor of$f(z)$, where...

The main purpose of the present paper is to prove the theorem of Riemann Roch for adjoint systems on 3-dimensional algebraic varieties¹ by means of the theory of harmonic integrals. Let$\mathfrak{M}$be a non-singular algebraic variety of dimension 3 imbedded in a projective space,Kbe a canonical divisor on$\mathfrak{M}$and S be an arbitrary (possibly reducible) surface on$\mathfrak{M}$with only ordinary singularities i.e. a double curve on which there is a finite number of ordinary cuspoidal points and of triple points of S. The problem concerning the theorem of Riemann-Roch for the adjoint system$\left| {K + \left. S \right|} \right.$ofS...

LetVbe a compact complex analytic variety of complex dimensionr,definedin xbstractowithout any embedding space.¹ According to a recent result of Chow,² the field$\Im (V)$of all meromorphic functions onVis a finite algebraic function field whose degree of transcendencysis at most equal tor.There exists therefore an algebraic varietyV*of dimensionsin a projective space, uniquely determined up to a birational transfonnation, and a meromorphic transformation Φ ofVontoV*,such that every meromorphic function onVis the image of a meromorphic (and hence rational) function on...

1. Let$\mathfrak{M}$be a compact Kählerian variety of (complex) dimensionm.Suppose a (possibly reducible) compact analytic subvariety S of$\mathfrak{M}$of dimensionm— 1 as given and denote by$\mathfrak{M}(\mathfrak{S};\mathfrak{M})$the linear space consisting of all meromorphicm-ple differentialsWon$\mathfrak{M}$which aremultiplesof —S in the sense that$(W) + S\underline \leqslant 0,(W)$being thedivisorofW.The problem concerning thetheorem of Riemann-Roch for the adjoint system¹ ofSconsists in expressing the dimension of the linear space$\mathfrak{M}(S;\mathfrak{M})$in terms of “numerical characteristics” of$\mathfrak{M}$and S. The purpose of the present short note is to give an answer...

Let us consider an arbitrary irreducible non-singular algebraic variety${V_n}$of dimensionnimbedded in a projective space, and denote by${g_\kappa }({V_n})(1\underline \leqslant k\underline \leqslant n)$the number of linearly independentk-ple differentials of the first kind attached to${V_n}$In the present short note, we shall prove a conjecture of F. Severi¹ to the effect that thearithmetic genusPa$({V_n})$of${V_n}$isrepresented in the form

${p_a}({V_n}) = {g_n}({V_n}) - {g_n} - 1({V_n}) + {g_n} - 2({V_n}) - + ..... + {( - 1)^n}^{ - 1}{g_1}({V_n})$.

(1)

It follows from (1) thatthe arithmetic genus${p_a}({V_n})$is a birational invariant of${V_n}$since each${g_\kappa }({V_n})$is known to be a birational invariant$^2$of${V_n}$.

1. We set$\alpha ({V^n}) = {g_n}({V_n}) - {g_n}_{ - 1}({V_n}) + {g_n}_{ - 2}({V_n}) - + ..... + {( - 1)^{n - 1}}{g_1}({V_n})$

(2)...

1. 1.Currents.Let$\mathfrak{M}$be a compact Kähler manifold of complex dimensionmwith metric$d{s^2}2 = 2{g_{\alpha \beta }}d{z^\alpha }d\overline {{z^\beta }} {g_{\alpha \beta }} \in {C^\infty }$. We introduce real coordinates${\chi ^i}$defined by

${z^\alpha } = {\chi ^{2\alpha - 1}} + \sqrt { - 1{\chi ^{2\alpha }}} $,$\alpha = 1,2,...,m,$

and choose the orientation of an such that the system of coordinates${\chi ^1},{\chi ^2},...{\chi ^{2m}}$is positive with respect to the orientation.

Ap-form Φ is holomorphic (meromorphic) in a subdomainDof$\mathfrak{M}$if Φ is of type (P, 0) and if its coefficients are holomorphic (meromorphic) functions of${z^1},{z^2},...,{z^m}$inD.The set of all singular points the singular set of Φ inDis called ap-ple differential if dΦ=0 outside the singular set.

Lemma...

Let${\mathfrak{M}_n}$be ann-dimensional compact Kählerian variety i.e. a compact complex analytic variety of complex dimensionnwith a Kählerian metric ds$d{s^2}2 = \sum {{g_{a\beta }}(d{z^a}d{{\overline z }^\beta })} $, where$({z^1},{z^2},.,{z^n})$denotes the system of local analytic coordinates on${\mathfrak{M}_n}$. A divisor on${\mathfrak{M}_n}$is a (2n—2)-cycle$D = \sum {{M_\nu }{S_\nu }} $with integral coefficients${\mathfrak{M}_{_V}}$composed of a finite number of irreducible analytic subvarieties${S_V}$of${\mathfrak{M}_n}$of complex dimensionn—1. Each${S_V}$associated with complex is called acomponentofD.The set of all divisors on${\mathfrak{M}_n}$constitute an additive group. Every meromorphic functionFon${\mathfrak{M}_n}$which is not identically determines its divisor in a well-known...

The object of the present paper is to prove some results in the theory of algebraic varieties, e.g. the theorem of Riemann-Roch for adjoint systems of ample linear systems, a conjecture of Severi concerning arithmetic genera of algebraic varieties, the completeness of the characteristic systems of sufficiently ample complete continuous systems, etc., by means of the theory of harmonic integrals. First, in Section 1, we summarize the necessary preliminary materials concerning linear systems on non-singular algebraic varieties. In Section 2 we derive from a theorem of Lefschetz several necessary results concerning differentials of the first kind on non-singular algebraic varieties....