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Im Folgenden soll ein einfacher Beweis fur den bekannten Satz¹) gegeben werden, dass jede stetige einparametrige Untergruppe einer Lieschen Gruppe differenzierbar (in bezug auf den Parameter) ist.
Es sei @ eine n-parametrige Liesche Gruppe. Die Elemente von @ bezeichnen wir mit x, y, ... ; ihre Koordinaten mit xi, yi, ... (j = 1, 2, ..., n). Dem Einselement e von @ solI wie ublich der Koordinatenanfang (0, ... ,0) entsprechen.
${f^i}\left( {{x^1},...,{x^n};{y^1},...,{y^n}} \right) = {f^i}\left( {x,y} \right) = {\left( {xy} \right)^i}$sei die Funktion, die die j-te Koordinate des Produktes xy angibt. fiist also stetig differenzierbar in bezug auf$\left( {x,y} \right) = \left( {{x^1},.,{x^n};{y^1},.,{y^n}} \right).$
Wir setzen nun
$g_k^j\left( {x,y} \right) = \frac{1}{{{x^k}}}\{ {f^i}(0,...,0,{x^k},{x^{k + 1}},...,{x^{n;y}}) - {f^i}(0,...,0,{x^{k + 1}},...,{x^{n;y}})\} ,$
sodass di Identität: besteht....