Introducción al análisis de sistemas dinámicos

Introducción al análisis de sistemas dinámicos

Gonzalo Edwards Guzmán
Copyright Date: 2013
Edition: 2
Published by: Ediciones UC
Pages: 268
https://www.jstor.org/stable/j.ctt15hvt7s
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    Introducción al análisis de sistemas dinámicos
    Book Description:

    Este libro brinda herramientas matemáticas utilizadas para modelar y analizar la evolución de sistemas que varían en el tiempo. Trata en profundidad la teoría de ecuaciones de diferencias y diferenciales, tanto para una como para múltiples variables. La teoría se presenta a través de numerosos ejemplos y problemas propuestos, principalmente del área económica, que persiguen desarrollar la capacidad matemática y de modelamiento del lector. Especial énfasis se ha puesto en el planteamiento de problemas económicos y en el análisis de las soluciones, sin descuidar sus métodos.

    eISBN: 978-956-14-1588-1
    Subjects: Business

Table of Contents

  1. Front Matter
    (pp. 1-6)
  2. NOTA INTRODUCTORIA
    (pp. 7-8)
    Rosende R. Francisco

    Este libro forma parte de una colección de textos orientados a difundir las principales disciplinas de la ciencia económica.

    El objetivo básico de esta colección es divulgar hacia las demás instituciones de la educación superior nacionales e hispanoamericanas, materias de la ciencia económica abordadas en la ya larga tradición de docencia en el Instituto de Economía de la Pontificia Universidad Católica de Chile. Desde el inicio de esta colección, en 1981, se han publicado varios textos de estudios, que han logrado satisfacer ampliamente el objetivo trazado al comienzo.

    En esta oportunidad presentamos una nueva edición del libroIntroducción al análisis...

  3. INTRODUCCIÓN
    (pp. 9-10)
    Gonzalo Edwards Guzmán

    El propósito de este libro es introducir las herramientas matemáticas que se utilizan para modelar y analizar la evolución de sistemas que varían en el tiempo. En otras palabras, se persigue entregar un conjunto de herramientas que permitan al lector desenvolverse con soltura al tratar problemas donde interviene por una parte una gran cantidad de variables y por otra, donde la trayectoria a través del tiempo de dichas variables constituye el foco de análisis.

    Debido a que las matemáticas constituyen un lenguaje por medio del cual se analizan los fenómenos dinámicos, y que por lo tanto exige práctica para comunicarse...

  4. Table of Contents
    (pp. 11-12)
  5. CAPÍTULO 1 INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS UNIVARIABLES
    (pp. 13-32)

    El objetivo principal de la primera parte de este libro es presentar una metodología para representar y analizar sistemas dinámicos uniecuacionales. Para lograr dicho objetivo se trabajará con sistemas planteados tanto en tiempo discreto como en tiempo continuo. En el primer caso, el instrumento matemático que se desarrollará es el de ecuaciones de diferencias, mientras que en el segundo habrá que estudiar el tema de ecuaciones diferenciales.

    En este primer capítulo se introducen algunos modelos simples que tratan de desarrollar la capacidad de planteamiento del problema, que tiene que ver con cómo se representa la realidad en términos de ecuaciones;...

  6. CAPÍTULO 2 ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES
    (pp. 33-72)

    En este segundo capítulo, el énfasis estará en la forma de solucionar las ecuaciones de diferencias y diferenciales. En primer lugar, se verá la solución de las ecuaciones lineales, para luego continuar con el caso no lineal, el que se aborda principalmente a través de métodos numéricos de solución.

    Una ecuación de diferencias es lineal si se puede expresar como

    \[\text{X}(\text{k}+\text{n})+{{\text{a}}_{\text{n}-1}}(\text{k})\text{X}(\text{k}+\text{n}-1)+\ldots +{{\text{a}}_{0}}(\text{k})\text{X}(\text{k})=\text{g}(\text{k})\]

    Por otro lado, una ecuación diferencial es lineal si se puede representar como

    \[\frac{{{\text{d}}^{\text{n}}}\text{X(t)}}{\text{d}{{\text{t}}^{\text{n}}}}+{{\text{a}}_{\text{n}-1}}\text{(t)}\frac{{{\text{d}}^{\text{n}-1}}\text{X(t)}}{\text{d}{{\text{t}}^{\text{n}-1}}}+\ldots +{{\text{a}}_{0}}\text{(t)X(t)=g(t)}\]

    Si g(k) o g(t) es igual a cero, se dice que la ecuación es homogénea. Si ai(·) = ai para todo i, se habla de...

  7. CAPÍTULO 3 APLICACIONES DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y ECUACIONES DIFERENCIALES
    (pp. 73-100)

    Este capítulo presenta algunas aplicaciones de ecuaciones de diferencias y ecuaciones diferenciales.

    El ejemplo siguiente tiene por objeto analizar la evolución de la masa ganadera en función de los principales factores que inciden en ella. Es un modelo simple que no pretende más que ayudar al entendimiento del problema de estimación de la oferta de carne. Debe destacarse que no es un modelo de optimización en el que se maximiza una función objetivo controlando los beneficios de animales. Es meramente un modelo descriptivo que permite ver qué pasa cuando se alteran las tasas de beneficio.

    Los supuestos en que se...

  8. CAPÍTULO 4 INTRODUCCIÓN A LOS MODELOS DINÁMICOS MULTIVARIABLES
    (pp. 101-118)

    En los primeros tres capítulos de este libro se estudiaron los principios básicos de la teoría de ecuaciones de diferencias y diferenciales, para así poder describir la evolución de variables que cambian con el tiempo y donde el valor que toma una variable en un momento determinado está relacionado con el valor de dicha variable en otro momento del tiempo.

    El principal problema con el análisis univariable estudiado radica en que no permite analizar de manera adecuada las situaciones donde algunas variables se mueven a través del tiempo en forma conjunta y relacionada.

    En términos más generales, se podría pensar...

  9. CAPÍTULO 5 SISTEMAS DE ECUACIONES DE DIFERENCIAS Y DIFERENCIALES
    (pp. 119-154)

    En este capítulo, el énfasis estará puesto en la forma de solucionar sistemas de ecuaciones de diferencias y diferenciales. En primer lugar, se abordará la solución de sistemas lineales, para luego continuar con los sistemas no lineales.

    Un sistema lineal es aquel que puede expresarse como

    \[\text{X}(\text{k}+1)=\text{A}(\text{k})\text{X}(\text{k})+\text{W}(\text{k})\]

    donde

    \[\text{X}(\text{k})=\begin{pmatrix} \text{X}_{1}(\text{k})\\ \vdots \\ \text{X}_{\text{n}}(\text{k}) \end{pmatrix};\text{W}(\text{k})=\begin{pmatrix} \text{W}_{1}(\text{k})\\ \vdots \\ \text{W}_{\text{n}}(\text{k}) \end{pmatrix};\text{A}(\text{k})=\begin{pmatrix} \text{a}_{11}(\text{k})\; \; \; \cdots \; \; \; \text{a}_{_{1\text{n}}(\text{k})}\\ \vdots \; \; \; \; \; \; \; \ddots \; \; \; \; \; \; \; \vdots \\ \text{a}_{\text{n}1}(\text{k})\; \; \; \; \cdots \; \; \; \text{a}_{\text{nn}}(\text{k}) \end{pmatrix}\]

    El sistema puede representarse también de forma análoga en tiempo continuo.

    Las variables Xison conocidas como variables de estado, la matriz A es la matriz del sistema y W es el vector de entrada, a veces también llamado vector de control.

    En relación con el vector de entrada, W(k) o...

  10. CAPÍTULO 6 APLICACIONES DE SISTEMAS MULTIVARIABLES
    (pp. 155-180)

    Este capítulo tiene por objeto presentar algunos ejemplos de sistemas multivariables tanto en tiempo discreto como en tiempo continuo.

    El ejemplo siguiente presenta una formulación matemática simple para describir las normas de matrimonio y descendencia en el caso de los indios Natchez.27

    Los Natchez tienen cuatro clases sociales: los soles, los nobles, los honorables y los indeseables. Tanto las normas de matrimonio como de descendencia se resumen adecuadamente en el cuadro 6.1. La entrada en cada celda describe la clase social de un niño de padres en las clases correspondientes; x indica que el matrimonio correspondiente no está permitido.

    Lo...

  11. CAPÍTULO 7 CONCEPTOS BÁSICOS DE CONTROL
    (pp. 181-200)

    En este capìtulo y los que siguen, se analizaràn los sistemas dinámicos multiecuacionales desde una perspectiva de control.

    Para desarrollar esta parte, conviene visualizar un sistema de tiempo discreto como

    X(k+1) = f(X(k), u(k), k)

    o bien como

    X'(t) = f(X(t), u(t), t)

    si se trabaja en tiempo continuo.

    Todo el análisis que sigue se basa en el supuesto de que las entradas, u(k) o u(t) según sea el caso, son variables que se pueden manejar o controlar, ya sea con el objeto de alterar el sistema de forma tal que se comporte de determinada manera o de optimizar alguna...

  12. CAPÍTULO 8 CÁLCULO DE VARIACIONES, CONTROL ÓPTIMO Y PROGRAMACIÓN DINÁMICA
    (pp. 201-242)

    En este capítulo se buscará encontrar la trayectoria de una variable de control (o de un grupo de variables) que maximice (minimice) una determinada función objetivo. En general, esta función objetivo se expresa en términos del recorrido que tengan tanto las variables de control como las variables de estado dentro del horizonte de tiempo, T, y del valor terminal de las variables de estado, X(T).

    Matemáticamente, el problema básico se formula como sigue:

    \[\text{Maximizar J= }\!\!\psi\!\!\text{ (X(T)+}\int\limits_{0}^{\text{T}}{\text{1(X(t), u(t))dt}}\] (a)

    sujeto a:

    \[\text{X }\!\!'\!\!\text{ (t)=f(X(t), u(t))}\] (b)

    \[\text{X}(0)={{\text{X}}_{0}}\] (c)

    y un conjunto de controles posibles

    \[\text{u}(\text{t})\in \text{U}\subset {{\text{R}}^{\text{m}}}\] (d)

    En términos de un problema económico, la integral en la función objetivo podría representar...

  13. CAPÍTULO 9 APLICACIONES DE OPTIMIZACIÓN DINÁMICA
    (pp. 243-258)

    Este capítulo presenta algunas aplicaciones en el tema de control óptimo y programación dinámica.

    El objetivo de este ejemplo es presentar una versión en alguna medida simplificada del Modelo de Ramsey-Koopmans de crecimiento económico. El modelo supone que los consumidores maximizan el valor presente de la utilidad generada por el consumo, y que las firmas maximizan ganancias e invierten lo que los individuos deciden ahorrar.

    En primer lugar, se verá el problema de los hogares, luego el de las firmas y finalmente el equilibrio del sistema.

    El modelo supone que los hogares enfrentan el siguiente problema de maximización:

    \[\text{Max }\int_{0}^{\text{T}}{\text{U(c(t))L(t)}{{\text{e}}^{-\text{ }\!\!\rho\!\!\text{ t}}}\text{dt}}\] (1)

    donde...

  14. ÍNDICE DE MATERIAS
    (pp. 259-260)
  15. RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
    (pp. 261-265)